等周定理：一个爱情悲剧里的数学问题

平面上的等周问题长短常古老的问题，在维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》中就呈现了等周问题的影子。等周定理简单归纳综合就是，在平面上给定长度的简单闭曲线中，圆周所围的面积最大。圆这一谜底看似天然而合理，但要严酷地证实却并不轻易，汗青上研究该问题的数学家层出不穷，今天我们就开启一趟数学摸索之旅，体味这些分歧气概的证实方式。

撰文 | 杨帆（重庆大学数学与统计学院）

一、闻名歌剧里的数学问题

平面上的等周问题是微分几何的根基问题之一，研究汗青悠长，若要完整的讲述此中的故事，我们不妨从亨利·普赛尔（Henry Purcell, 1659-1695）最闻名的歌剧《狄朵与埃涅阿斯》（Dido and Aeneas）聊起。这部歌剧取材于维吉尔（Virgil）的史诗《埃涅阿斯纪》（Aeneid），演绎了迦太基（Carthagia）女王狄朵和特洛伊英雄埃涅阿斯的恋爱悲剧，歌剧中女巫姐妹为了粉碎他们的恋爱，棍骗埃涅阿斯分开迦太基去完当作一项任务，狄朵误觉得他变节了本身，于是自焚身故。

最终，他们呈现在你面前，

可以看到新迦太基建起的塔楼；

在那边买下一块地盘，名叫比尔萨。

——《埃涅阿斯纪》

歌剧《狄朵与埃涅阿斯》宣传图

狄朵与埃涅阿斯的相遇其实并不浪漫，她平生偃蹇困穷，在此之前因丈夫被暗算而被迫逃离故土，她一路逃亡来到海说神聊非海岸，并设法在此假寓，为采办地盘与本地人履历了一番讨价还价，最终获得的承诺是她只能据有一块牛皮包住的地盘，于是聪慧的狄朵将牛皮切当作尽可能多的细条，将细条相连当作线从而围住了大片地盘。在这里我们看到了等周问题的影子——在给定的周长内围住尽可能多的地盘面积，遗憾的是这位潜在的女数学家选择将生命献给恋爱，最终这个数学问题仍是由古希腊数学家给大致解决了。

何为等周定理？即平面上定长的简单闭曲线中圆周所围的面积最大，其对偶定理与之等价，即平面上面积相等的几何图形中圆的周长最小。设D是长度为L的平面简单闭曲线，由若尔当曲线定理（即在欧式平面上，肆意一条简单闭曲线D可把平面分当作两个部门，使得统一部门的肆意两点可用不与D订交的弧相连），曲线D可围当作面积为A的有限区域，用不等式暗示为

，当且仅当D为圆周时等号当作立。戳https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzUxNzQyMjU5NQ==&mid=2247487348&idx=2&sn=8fb5653af38e4a7d29501773ce508292&chksm=f9992418ceeead0e7209d3f8921d8d1cd65b98a6540520fdc7be41e8dffcf620fd027e0fc17d&token=1854233942&lang=zh_CN#rd可不雅看等周问题的番笕泡尝试的视频

谜底看似有理，究竟结果圆是一个如斯神奇的外形，但严酷地证实并不轻易，汗青上先后有很多数学家都研究过该问题，但直到19宿世纪，才由德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）初次给出了一个严谨的数学证实（拜见参考文献4）。接下来，我们就来领会几个分歧期间有代表性的证实方式。

二、斯坦纳的证实

在正式证实之前，我们要明白等周定理的解必然是凸几何。所谓凸几何，即在某一图形内取肆意两点连当作线段，若线段上所有的点都在图形内，则该图形为凸几何，反之为非凸几何。

17宿世纪以来，一批数学家们致力于在解决几何问题时尽量少的运用代数运算，而追求更具普适性的方式，雅各布·斯坦纳（Jakob Steiner，1769-1863）就是此中一位代表性人物。他在合当作几何方面的研究较为权势巨子，他认为计较故障了思虑，而纯粹的几何学则刺激了缔造性思维，在他所给出的五种对等周定理的证实中，这一立场也有所表现，我们先来领略此中两种方式的出色之处。

Jakob Steiner，1769-1863

01四搭钮证实法（Four-hinge Proof）

与之前的做法近似，首先用一条直线将定长前提下面积最大的图形分为周长相等的两部门，此时面积也被等分，要证实等周定理，只要证实图形等分后的两部门为半圆。

考虑上半部门曲线 D1 围当作的图形A1，运用反证法，假设A1不是半圆。将D1与朋分线的交点记为B与C，由直角三角形的斜边中线定理可知，半圆的内接三角形为直角三角形，而A1不是半圆，则D1上存在一点A，与点B、C相连使得∠A不是直角。接着，移动三角形底边的端点 B、C，并连结BA、CA的长度不变，使∠A变为直角，这时，连结暗影部门面积不变，而三角形△ABC面积增添，从而A1的面积也增添，而曲线 D1 的长度未变，是以在周长不变的环境下获得了面积更大的图形，与假设矛盾，是以上半部门为半圆，从而圆就是面积最大的图形。

02平均鸿沟证实法（Mean-boundray Proof）

首先来介绍一下平均鸿沟的概念，可以将它理解为两条给定曲线的中线，从垂直偏向看，作一向线与三条曲线别离交于A、B、C，则线段AB与线段BC等长。而且稍作计较可以发现，平均鸿沟的长度不大于两条给定曲线长度的平均值，只有当两条曲线一样时才能取等号。

平均鸿沟

斯坦纳等一众数学家的尽力让公共相信，离开了代数与阐发的数学仿照照旧是壮大的兵器，但我们同时又会如斯真切地感触感染到几何与方程碰撞发生的奇奥成果。因为下文会用到面积公式，不妨先用几何的方式来推导一下。

三、后斯坦纳时代

此后，存在性的问题一向无人能解，直到1879年魏尔斯特拉斯在一次讲座中证实领会的存在性，从而使等周问题拥有了第一个严谨的证实。完整地证实解的存在性长短常坚苦的，连魏尔斯特拉斯本身都感伤：“这个问题其实是太难了，以至于它被认为几乎不克不及被完当作。”是以本文对此就不进行深切的介绍了。

在证实领会的存在性的后斯坦纳时代，数学家们对等周问题的研究似乎多了些底气，下面介绍了两种分歧的证实方式，我们不妨体味一下分歧气概的证实之美。

01变分法证实

Jakob Bernoulli (1654-1705) 和 Johann Bernoulli (1667-1748)

变分法最先由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）于1696年提出，开初是为领会决物理中的最速降线问题，雅克布·伯努利（Jakob Bernoulli）知道后也起头潜心研究，这个问题同时也吸引了欧拉、牛顿等数学家的注重，在一众数学家的配合尽力下，变分法的研究不竭取得冲破。值得一提的是这伯努利两兄弟的关系，哥哥雅各布平生仓促五十载，而此中的三十年都用在了和弟弟进行学术争论上，在我们后人看来，恰是他们对科学不竭的切磋争执，才促进了科学的成长与前进。

等周问题很是简练，所给的前提只有定长这一个，若把面积最大理解为求极值，那么用变分法处置就显得很是天然。变分法的焦点思惟是找到一个函数y(t)，求得与之相关的泛函

的极值。

在解决等周问题时，我们就需要找到曲线t→(x(t), y(t))，在给定周长

的前提下，使面积

最大化，运用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）机关函数：

并求出

的极值。

变分法的关头是欧拉方程（Euler Equation），即经由过程使一阶导为零求得极值点，别离化简 x 与 x’ 的欧拉方程求得最终解，这显然是圆参数方程的一种形式。

02投影法证实

施密特（ Erhard Schmidt）的投影法证实方式的怪异之处在于，运用投影的方式将不法则图形与圆周相联系，具体做法是将简单闭曲线α所围当作的区域夹在两平行直线之间，在两直线间作一半径为r的圆周β，以圆心为原点，y轴与直线平行成立平面直角坐标系，令

，

，这样就可以计较它们各自的面积。此中，s为曲线α的弧长参数，A为曲线α围当作的面积。

将原曲线投影到圆周上

将两者面积相加，运用柯西不等式进行放缩，在计较过程中需要注重一个隐含前提，因为对原曲线作了弧长参数化处置，则有弧长参数x'2+y'2=1，计较时可进行化简，最终求得等周不等式，当等号当作立时 A= πr2，L=2πr，是以原曲线围当作的就是一个圆。

说了这么多，等周定理到底有什么用呢？操纵最短的线围出最大的面积是其在日常生活中最为常见的应用。等周定理不像莫比乌斯环、哥尼斯堡七桥问题、四色问题等这么为人熟知，但它在鞭策学术研究上具有主要价值，例如该定理可用来进行特征值估量，解决流体机械中的流化感化相关的问题等。感乐趣的小伙伴可以进行更深切的研究。

回首等周定理的各类证实，数学家和文学家的思维一样灵敏而自由，同样的事物在他们眼中会酿成分歧的风光，分歧的方式让我们可以从分歧的角度去理解统一个事实，这往往指导出数学上分歧的成长。

王国维在《人世词话》中将词分为有我之境与无我之境，借用丘当作桐师长教师的不雅点，数学研究当然也有境界的概念，在某种水平上也可谈有我之境、无我之境。等周问题生发于实际中的买地问题，由糊口指导，可谓无我之境；但随后数学家们不懈的证实鞭策理论的成长，可谓有我之境矣。