撰文 | 倪忆（加州理工学院数学系传授）
来历：普林小虎队
跌荡放诞升沉的2020年关于曩昔，2021年来到人世。按照笔者中学时加入数学竞赛的老例，总要阐发一下2021这个数字的性质，以防竞赛中赶上包含这一数字的标题问题。像1997年国际数学奥林匹克，第四题里就呈现了1997。
1997年IMO第四题，有乐趣的读者可以做做。
然而，跟2020比起来，2021其实是一个平平无奇的数字。
2020有很多有趣的分拆，好比它是5个404的和。(有位读者问：“404啥意思？” 这个嘛，大师应该都经常看到404页面是不是？)
2020=1024+996，所以2020年10月24日码农节有着特别的意义。
2021呢，笔者尚未找到这样的分拆，莫非要用2021=1024+997？那可就太绝望了！
素数和半素数
分拆不当作，那么试着因数分化？我们知道，若是一个大于1的整数的因子只有1和它自己，那么这个数就被称为素数（也称质数）。2、3、5、7是最小的几个素数，1997也是素数。素数是“数论”这门数学分支里研究的根基对象，在数学里有着主要意义。若是2021是一个素数，那么从数学上看它就很有意思。可是很遗憾，
所以它不是素数。
在上面的乘式里，43和47都是素数。若是一个正整数是两个（可以不异）素数的乘积，那么这个正整数就被称为半素数 (semiprime)。所以2021就是一个“半素数”。
在数论里有很多跟素数有关的问题。好比闻名的哥德巴赫猜想，其内容就是任何一个大于4的偶数都能写当作两个素数的和。若是两个素数彼此之间只差2，那么它们就被称为一对孪生素数。好比1997和1999就是一对孪生素数。孪生素数猜想断言存在无限多对孪生素数。
张益唐在孪生素数猜想上作出了重大冲破丨图源：海说神聊京大学新闻网
有的时辰，数学家无法证实关于素数的猜想，就退而求其次，看看能不克不及证实关于半素数的响应结论。最闻名的例子就是陈景润在哥德巴赫猜想上的工作，凡是被记为“1+2”，其数学寄义是：任何一个大于4的偶数都能写当作两个数的和，此中一个数是素数，别的一个数是素数或者半素数。公家不太领会的是，陈景润在孪生素数猜想上也有近似的成果。他证实了，存在无限多个素数，使得这个素数加上2今后是一个素数或者半素数。
闻名数学家陈景润丨图源：新华网
半素数的一个性质是，若是把它写当作两个大于1的整数的乘积，那么在不考虑挨次的环境下，这种乘式是独一的。（读者可以思虑一下，除了半素数以外，还有没有此外整数有这样的性质？）1974年，人们用阿雷西博射电千里镜标的目的武仙座M13球状星团发射了一段共1679比特的信息。破解阿雷西博信息的第一步，就是注重到1679是一个半素数，所以可以把信息构成一个73×23的矩形。
阿雷西博信息中包罗1到10的数字，DNA、人类和太阳系的信息，甚至阿雷西博千里镜自己的形象和直径。丨图源：维基百科
乌拉姆螺旋
2021自己的两个素因子是43和47，若是您是笔者这样的业余数论快乐喜爱者，多半可以一眼认出，它们是欧拉(Leonhard Euler)发现的一系列能用多项式生当作的素数中的两个。欧拉在1772年注重到，对于二次多项式
当n取
0, 1, 2, 3, ……, 39
时，获得的数值是
41, 43, 47, 53, ……, 1601，
全数是素数。这个事实可以用下面的乌拉姆螺旋(Ulam spiral)来直不雅地暗示。从41起头，把天然数按照逆时针螺旋形写在方格纸上，然后标出此中所有的素数。我们会发现，包含41的右上至左下的对角线上持续摆列着良多个素数。
从41起头的乌拉姆螺旋，此中素数标为蓝色，素数的平方标为绿色。丨图源：Twitter账户Fermat's Library
注：乌拉姆(Stanislaw Ulam)是一位波兰犹太裔数学家，在纳粹入侵波兰前夜移居美国。他介入了研制原枪弹的曼哈顿工程，并在氢弹研制中阐扬了关头感化。美英等国的氢弹构型即被定名为泰勒-乌拉姆构型。乌拉姆螺旋是他于一次会议上，听陈述过程中闲得无聊，在纸上乱画时发现的。
欧拉的这个二次多项式不成能永远获得素数，可是接下来的良多值仍然是素数或者半素数：
此中 P(44) 恰是我们的年份2021！
用计较机很轻易算出，要一向到 n=420，我们才会获得第一个既不是素数又不是半素数的P(n)：
而在从n=0到n=419的总共420个P(n)中，有281个素数，139个半素数。
1857年，俄国数学家布尼亚科夫斯基(Viktor Bunyakovsky)猜测，存在无限多个正整数n，使得P(n)是素数。(布尼亚科夫斯基现实上对于更为一般的多项式作出了这个猜想。)这个猜想至今尚未获得证实。1978年，波兰数学家伊万尼克(Henryk Iwaniec)证实了，存在无限多个正整数n，使得P(n)是素数或者半素数。(伊万尼克对于一般的二次多项式证实了这个结论。)
伊万尼克从特首梁振英手中接过2015年度邵逸夫数学奖丨图源：邵逸夫奖
RSA公钥密码
那么，为什么数学家们要研究素数或者半素数呢？它们跟我们的糊口有什么关系？能吃吗？
谜底是，它们确实跟我们的糊口有着紧密亲密关系。我们今天可以或许开通网上银行被巨子割韭菜，进行收集购物双十一剁手，甚至上网浏览，都要感激素数和半素数。究其原因，是操纵了如下的性质：把两个数相乘很轻易，把一个数分化当作乘积则很难。
我们可以看看2021这个例子。若是要计较43×47，小学三四年级的学生就能轻松算出成果是2021。但若是不知道此中任何一个因子，要想找出来2021是哪两个数的乘积就不那么轻易。
别的一个闻名的例子是分化
1903年，美国数学家科尔(Frank Nelson Cole)曾经在美国数学会的会议上作过一次无言的“演讲”。他缄默地走上讲台，用粉笔在黑板上算出
然后他继续计较
获得的成果跟前面一样。他的无言演讲博得了全场的起立拍手。有人问他是如何找到这一分化的，他说：“三年中的全数礼拜天。”
科尔丨图源：维基百科
现实上，计较
细心的人最多五分钟就妙手算出来，——但找到这样的分化却破费了科尔一百多天。（科尔的名字被用于定名美国数学会在数论和代数方面的最高奖，张益唐和许晨阳曾别离获得这两项科尔奖）
今天，用一台通俗的计较机就能等闲分化2021或者
但若是数字更大，分化仍然好不容易。好比我们拿两个300位以上的素数相乘，用通俗计较机可以敏捷算出成果。但若是只给您这个乘积的成果，在不知道任何一个因子的环境下，即即是利用超等计较机也需要良多年才可以分化出来。
大数分化的这一特征被密码学家用来设计公钥密码。密码在各类影视文学作品里经常呈现，好比福尔摩斯探案故事里的跳舞小人。在这个故事里，呈现了一个密钥，就是把英文字母一一对应于各类分歧形态的跳舞小人。
福尔摩斯和华生在研究跳舞小人密码丨图源：电视剧《神探夏洛克》
在密码传输过程中有两个需要利用密钥的步调。一个是发送者把正常信息加密为旁人看不懂的信息，另一个是接收者把这段旁人看不懂的信息解密为正常信息。早期人们利用的密码都是对称式密码，加密息争密用的是统一个密钥。若是您知道如何加密，天然就知道如何解密；反过来也是一样，知道如何解密，天然就知道如何加密。
跳舞小人密钥丨图源：一路扣扣网
对称式密码合用于一对一通信，但在多对多通信的景象下就很不便利。好比说张三、李四、王五三小我互相之间用统一密码通信，但有的时辰张三想跟李四零丁通信，内容不想让王五知道，这时再用以前的统一密码就不合适了，只能另起炉灶采用一套新的密码。这还只是三小我互相通信，如果全球几十亿人互相通信会更麻烦。公钥密码就是为领会决这一问题而设计的。
在公钥密码里，每个用户被分派了两套密钥，一套加密密钥，一套解密密钥。此中加密密钥公开给所有人，解密密钥则只有这个用户本人才知道。若是张三要给李四发送信息，他只需要利用李四的加密密钥来对原始信息加密，把加密信息发送给李四。那么就只有李四本人才可以或许用李四的解密密钥来对加密信息解密。
用公钥密码还可以实现数字签名。好比张三给李四发送一段信息，他可以先用张三本身的解密密钥来处置原始信息，获得一号加密信息，然后再用李四的加密密钥来对一号加密信息加密，获得二号加密信息。现实发送给李四的是二号加密信息。李四收到二号加密信息后，需要先用本身的解密密钥来解密二号加密信息，获得一号加密信息，然后再用张三的加密密钥来处置一下，就获得原始信息。这样发送出来的二号加密信息，就是只有张三才能发送，而且只有李四才能解读的。于是我们便获得了旁人无法仿造的张三的“数字签名”。
公钥密码机制的关头在于，从加密密钥很难揣度出解密密钥。1977年，三位麻省理工学院的密码学家RonaldRivest, AdiShamir, 和LeonardAdleman提出了RSA公钥密码，操纵大数分化的坚苦来实现公钥密码。具体而言，每个用户被分派了两个大素数。这两个大素数的乘积（即一个“半素数”）被公开给了所有效户，但只有这个用户自己才知道是哪两个素数。解密密钥需要知道这两个素数，而加密密钥只需要利用它们的乘积。
1983年，左起Shamir, Rivest, Adleman 丨图源：imps.mcmaster.ca
在RSA公钥密码里，只要利用的两个素数足够大，就可以包管密码是平安的。在收集时代，公钥密码被普遍应用于收集银行、电子商务等场景中。读者可能会注重到，以前上网，浏览器里的地址多半是以http://开首，但近年来多半是以https://开首。在https和谈里就利用了公钥密码，比http和谈更平安。然而，在1994年，Peter Shor提出了一个用量子计较机快速进行大数分化的Shor算法。一旦可适用的量子计较机被建当作，RSA公钥密码将不再平安。如何设计更平安的密码，以及如何破译已有的密码，始终是密码学家不懈研究的问题，而数论在此中阐扬着不成取代的感化。
当然了，RSA用到的半素数都是稀有百位甚至上千位的大数，不会用到2021这么小的数。我们的年份2021，仍然只是一个平平无奇的数字。但愿2021年，也像这个数字一样平平无奇，而不像2020年那样惊心动魄。
